Chuyên đề các dạng Bài tập Nguyên hàm cơ bản và nâng cao

Chủ Đề Bài Tập Nguyên Hàm Cơ Bản và Nâng Cao

Xin chào các bạn đam mê toán học! Bạn đã bao giờ tự hỏi rằng “Nguyên hàm là gì?” và cách giải bài tập nguyên hàm cơ bản cũng như nâng cao ra sao chưa? Hãy cùng Laginhi.com khám phá chuyên đề này ngay!

Bạn đang xem: Chuyên đề các dạng Bài tập Nguyên hàm cơ bản và nâng cao

Trên hành trình tìm hiểu về toán học THPT, việc nắm vững kiến thức về nguyên hàm không chỉ giúp bạn hiểu sâu về môn toán mà còn là chìa khóa mở ra những bài toán phức tạp. Bạn muốn biết phương pháp làm bài tập nguyên hàm một cách hiệu quả hay cách sử dụng Casio để giải quyết chúng? Đừng bỏ lỡ cơ hội tìm hiểu cùng chúng tôi tại Laginhi.com!

Hãy cùng nhau khám phá, tìm hiểu và chinh phục các bài tập nguyên hàm để trở thành bậc thầy toán học bạn nhé!

Nguyên Hàm và Ước Lượng

Khi bạn xem xét một hàm số f được xác định trên tập K, hàm F được xem là nguyên hàm của f nếu đạo hàm của F theo x bằng chính f(x) cho mọi x trong K.

Điều quan trọng cần lưu ý là nếu F là một nguyên hàm của f trên K, thì hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K, với mọi hằng số C.

Công thức tính nguyên hàm cơ bản

Dưới đây là một số công thức tính nguyên hàm cơ bản mà thường được sử dụng:

1. ∫0dx=C
2. ∫dx=x+C
3. ∫xkdx=x^(k+1)/k+1+C với k≠1
4. ∫1xdx=ln|x|+C
5. ∫axdx=a^x/lna+C với 0<a≠1

Với k là một hằng số khác 0:

1. ∫sinkxdx=−coskx/k+C
2. ∫coskxdx=sinkx/k+C
3. ∫ekxdx=e^kx/k+C

7. • ∫1/cos^2xdx=tanx+C
   • ∫1/sin^2xdx=−cotx+C

Bài tập nguyên hàm lượng giác có lời giải

Loại bài toán này liên quan đến việc sử dụng biến đổi và công thức nguyên hàm lượng giác để thực hiện các phép tính.

Các đẳng thức lượng giác phổ biến

sin^2x+cos^2x=1

sin^2x=2sinxcosx

cos^2x=2cos^2x−1

tan2x=2tanx/1−tan^2x

Các đạo hàm của các hàm lượng giác

sin′x=cosx

cos‘x=−sinx

tan′x=1/cos^2x

cot′x=−1/sin^2x

Các nguyên hàm của các hàm lượng giác

Các dạng bài tập về nguyên hàm lượng giác

• 
• 
• 
• 

Ví dụ:

Hãy tính nguyên hàm I=∫dx/3cosx+4sinx+3

Cách giải

Giả sử t=tanx2 ⇒

• dx=2dt/t^2+1
• sinx=2t/t^2+1
• cosx=1−t^2/1+t^2

Thay thế ta có

I=∫(2dt/t^2+1)/3*(1−t^2)/(t^2+1)+4(2t/(t^2+1))+3=∫2dt/(3−3t^2+8t+3t^2+3)

=∫2dt/8t+6=1/4∫d(8t+6)/8t+6=14.|ln(8t+6)|+C

Xem thêm : Snack là gì? 1 bịch snack bao nhiêu calo? Ăn có béo không?

Thay t=tanx2 vào ta có

I=ln(8tanx2+6)4+C

Bài tập nguyên hàm đổi biến số

Kỹ thuật đổi biến số đang trở nên phổ biến trong việc giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân. Việc áp dụng phương pháp này không chỉ giúp giảm độ phức tạp của bài toán mà còn tạo ra sự linh hoạt trong cách tiếp cận.

Một số bài tập nguyên hàm chống Casio

Trong các đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia, xuất hiện nhiều bài tập nguyên hàm phức tạp nhằm thúc đẩy khả năng tư duy của học sinh và ngăn chặn việc sử dụng máy tính bỏ túi. Dưới đây là một số dạng bài tập nguyên hàm cấp độ cao với cách giải phòng tránh sự can thiệp của Casio.

Bài tập nguyên hàm không chỉ là thách thức mà còn là cơ hội để rèn luyện kỹ năng tư duy logic và sự sáng tạo. Khi giải các dạng bài này, học sinh sẽ phải đặt ra những phân tích chi tiết và tập trung vào quá trình tư duy một cách toàn diện.

Đặc điểm của bài tập nguyên hàm chống Casio

• Bài tập thường có tính logic cao
• Yêu cầu sự tập trung và kiên nhẫn
• Thực hành rèn luyện suy luận và phán đoán
• Không dựa vào việc sử dụng máy tính bỏ túi để giải quyết

Bằng cách tham gia giải bài tập nguyên hàm một cách chủ động, học sinh sẽ trau dồi kỹ năng tính toán và lập luận logic. Đồng thời, họ cũng có cơ hội nắm vững kiến thức cơ bản và phát triển năng lực tư duy độc lập.

Dạng 1: Đồng nhất hệ số với mẫu có dạng tích

Bài toán: Bạn cần tìm nguyên hàm ∫A(x)f1(x).f2(x)…fn(x)dx với fi(x), A(x) là các đa thức.

Một cách tiếp cận là phân tích như sau:

A(x)f1(x).f2(x)…fn(x) = a1f1(x) + a2f2(x) + … + anfn(x)

Sau đó, tìm nguyên hàm của từng phân thức aifi(x)

Ví dụ:

Giả sử nguyên hàm I = ∫3x^2 + 3x + 5x^3 – 3x + 2dx = ax – 1 + bln|x – 1| + cln|x + 2| + C

Hãy tính a + b + c

Cách giải:

Giả sử: x^3 – 3x + 2 = (x – 1)^2(x + 2)

⇒ 3x^2 + 3x + 5x^3 – 3x + 2 có thể được phân tích thành một dạng như m(x – 1)^2 + nx – 1 + px + 2

Từ đó, ta có:

m(x – 1)^2 + nx – 1 + px + 2 = m(x + 2) + n(x^2 + x – 2) + p(x^2 – 2x + 1)(x – 1)^2(x – 2)

= (n + p)x^2 + (m + n – 2p)x + (2m – 2n + p)(x – 1)^2(x – 2)

Áp dụng đồng nhất hệ số, ta có:

• n + p = 3
• m + n – 2p = 3
• 2m – 2n + p = 5

Giải hệ phương trình trên, ta có:

• m = 11/3
• n = 16/9
• p = 11/9

Do đó, ta có:

I = ∫(113(x – 1)^2 + 169(x – 1) + 119(x + 2))dx

= -113.1x – 1 + 169ln|x – 1| + 119ln|x + 2|

Vậy a = -113; b = 169; c = 119

Xem thêm : 3 cách Dame ACC Facebook bay vĩnh viễn chỉ với 5 phút

⇒ a + b + c = -23

Dạng 2: Nhảy tầng lầu

Phương pháp này áp dụng cho hàm số có bậc của tử số nhỏ hơn rất nhiều so với bậc của mẫu số để làm cho bậc của tử số gần bằng bậc của mẫu số hơn, giúp tính toán dễ dàng hơn. Tổng quát

∫dx xn+a = 1/2k∫[f(x)+k]−[f(x)−k]xn+adx

= 1/2k(∫f(x)+kxn+adx+∫f(x)−kxn+adx)

Việc lựa chọn f(x) và k phụ thuộc vào mẫu số trong từng bài toán cụ thể.

Ví dụ:

Cho nguyên hàm I = ∫dx cos3x = a.sinxcos2x + b.tan(x/2+π/4) + C

Tính a−b

Cách giải:

• Đặt t = sinx, ta có
• ∫dx cos3x = ∫cosxdx cos4x = ∫dt(1−t^2)/2
• = ∫1/4∫[(t−1)+(t+1)(t−1)(t+1)]^2dt = ∫1/4(1/t+1+1/t−1)^2dt
• = ∫1/4(1/(t+1)^2+1/(t+1)^2+2t^2−1)dt
• = −1/4(t+1)−1/4(t−1)+∫dx/2 cosx
• = t^2(1−t^2)+1/2tan(x/2+π/4)+C
• = 1/2.sinxcos2x+1/2.tan(x/2+π/4)+C

Vậy a = b = 1/2 ⇒ a−b = 0

Dạng 3: Phân thức có bậc tử lớn hơn mẫu

Đối với dạng bài này, bạn cần thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số và sau đó tiếp tục xử lý phần dư.

Ví dụ:

Giả sử có hàm số f(x)=x2+ax+ln|bx+1|+c. Biết rằng f′(x)=4×2+4x+32x+1 và f(0)=1.

Yêu cầu: Tính a+b+c.

Cách giải:

Chúng ta có

4×2+4x+32x+1=(2x+1)2+22x+1=2x+1+12x+1.

Do đó, f(x)=∫4×2+4x+32x+1dx=x2+x+ln|2x+1|+c.

⇒a=1; b=2.

Vì 1=f(0)=c nên c=1.

Vậy a+b+c=4.

### Câu hỏi thường gặp

Nguyên hàm là gì?
Nguyên hàm của một hàm số được xác định trên tập số thực K là hàm số F sao cho đạo hàm của F bằng hàm số f tại mọi điểm thuộc K.

Công thức nguyên hàm cơ bản
Dưới đây là một số công thức tính nguyên hàm cơ bản thường được sử dụng:

1. ∫0dx=C
2. ∫dx=x+C
3. ∫xkdx=x^(k+1)/(k+1)+C (với k≠1)
4. ∫1xdx=ln|x|+C
5. ∫axdx=a^x/lna+C (với 0<a≠1)
6. Với k là hằng số khác 0:
   a. ∫sinkxdx=−coskx/k+C
   b. ∫coskxdx=sinkx/k+C
   c. ∫ekxdx=e^kx/k+C

7. a. ∫1/cos^2xdx=tanx+C
   b. ∫1/sin^2xdx=−cotx+C

Các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản và cách giải

• Bài tập nguyên hàm từng phần có lời giải: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần để giải các bài tập.
• Một số dạng toán nguyên hàm từng phần: Được thể hiện qua hình ảnh minh họa.

Tóm tắt

Trong toán học THPT, nguyên hàm đóng vai trò quan trọng. Bài viết trên DINHNGHIA.COM.VN đưa ra khái niệm về nguyên hàm, cách giải bài tập nguyên hàm cơ bản và nâng cao, cũng như phương pháp làm bài tập chống Casio. Từ việc xác định nguyên hàm đến việc giải các bài tập phức tạp, tất cả đều được trình bày một cách logic và chi tiết. Hướng dẫn và ví dụ cụ thể trong bài viết sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các dạng bài tập liên quan đến nguyên hàm. Đừng ngần ngại thử sức mình và áp dụng những kiến thức này vào thực hành. Chúc bạn thành công trong học tập và nghiên cứu!

Nguồn: https://laginhi.com
Danh mục: News