Số phức là gì? Modun số phức? Bài tập công thức số phức

“Khám phá Bí ẩn của Số Phức và Ứng Dụng Thú Vị! Laginhi.com đưa bạn vào thế giới huyền bí của Số Phức. Bạn đã bao giờ tự hỏi về Modun số phức chưa? Và tại sao Bài tập công thức số phức lại quan trọng đến vậy? Hãy cùng chúng tôi khám phá về Số Phức và những ứng dụng tuyệt vời của nó trong bài viết dưới đây. Đừng bỏ lỡ!”

[image]

Với sự giúp đỡ từ Laginhi.com, bạn sẽ hiểu rõ hơn về Số Phức và những khía cạnh hấp dẫn mà chúng mang lại. Điều gì khiến Số Phức trở nên đặc biệt? Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu chi tiết để khám phá thế giới thú vị này nhé.

Định Nghĩa Số Phức là Gì?

Số phức là một biểu thức có dạng a + bi trong đó a, b là các số thực và (i^{2}= -1).

Trong số phức z = a + bi, chúng ta thường gọi a là phần thực, b là phần ảo của z, i là đơn vị ảo.

Tập hợp các số phức được kí hiệu là C.

Nhận xét về số phức

Trong toán học, mỗi số thực a có thể được coi là một số phức với phần ảo b bằng 0. Một số phức z dạng a + bi với a bằng 0 được gọi là số thuần ảo hoặc số ảo. Đáng chú ý, số 0 không chỉ là số thực mà còn là số ảo.

Điều kiện bằng nhau của hai số phức

Hai số phức được coi là bằng nhau khi phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau.

Một cách trực quan, số phức z = a + bi và z’ = c + di được xem là bằng nhau nếu và chỉ nếu a = c và b = d.

Ví dụ cụ thể để minh họa điều này là khi bạn cần tìm các số thực x và y sao cho phương trình (2x + 1) + 3yi = (x + 2) + (y + 2)i thỏa mãn.

Qua giải thích, ta có hệ phương trình sau:

Từ đó, ta suy ra giá trị của x và y lần lượt là x = 1 và y = 1.

Mô đun của số phức

Khái niệm về mô đun của số phức là gì?

Giả sử M(a;b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng tọa độ.

Độ dài của (vec{OM}) chính là mô đun của số phức z. Kí hiệu là |z|.

Chúng ta có: |z|=(|vec{OM}|) = |a+bi|=(sqrt{a^{2}+b^{2}})

Xem thêm : Parsley là gì? 14 tác dụng nổi bật của rau mùi tây cần biết

Có thể bạn quan tâm:

• Mét vuông đổi ra mét bằng bao nhiêu? Có đổi được không?
• Cách đổi kg sang tấn bằng công cụ chuyển đổi cực chính xác
• 1 độ bằng bao nhiêu phút, giây, radian? Cách đổi đơn vị độ (góc)
• Cách đổi inch sang m cực chính xác, nhanh chóng bằng công cụ

Số Phức Liên Hợp – Định Nghĩa và Tính Chất

Khi nói về số phức z = a + bi, chúng ta đề cập đến số phức liên hợp của nó, ký hiệu là (bar{z}=a-bi).

Ví dụ cụ thể, nếu z = 1 + 2i thì (bar{z}=1 – 2i).

Dưới đây là một số tính chất cơ bản của số phức liên hợp:

Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức

Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b). Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a, b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.

Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.

Cộng và Trừ Số Ảo

Số đối của số phức z = a + bi là -z = -a – bi

Cộng và trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ đa thức

Cho z = a + bi và z’ = c + di.

Tổng Quát: z + z’ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

z – z’ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Ví dụ: (5 + 2i) + (6 + i) = (5 + 6) + (2 + 1)i = 11 + 3i

(5 + 2i) – (6 + i) = (5 – 6) + (2 – 1)i = -1 + i

Phép nhân số phức

Phép nhân số phức có đặc điểm giống như phép nhân số thực.

Tổng quát: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Ví dụ: (2 – 3i)(6 + 4i) = 12 + 8i – 18i – (12i^{2}) = 12 + 18i – 8i + 12 = 24 – 10i

Phép chia số phức

Khi nghiên cứu về số phức (z = a + bi neq 0), chúng ta cần quan tâm đến phép toán nghịch đảo (z^{-1} = frac{1}{z} = frac{bar{z}}{left | z right |^{2}}) và phép chia số phức:

Xem thêm : Máy chiếu laser là gì? Ưu điểm và ứng dụng trong cuộc sống

Để thực hiện phép chia hai số phức (z = a + bi neq 0) và (z’ = a’ + b’i), chúng ta áp dụng công thức (frac{z}{z’} = frac{z’bar{z}}{left | z right |^{2}}) hoặc (frac{a’ + b’i}{a + bi} = frac{(a’ + b’i)(a – bi)}{a^{2} + b^{2}}).

Thông qua ví dụ: Hãy giải phương trình (z=frac{4+2i}{1+i}):

• Bước 1: Nhân số phức z với (1 + i) để có (4 + 2i).
• Bước 2: Nhân cả hai vế của phương trình với liên hợp của (1 + i) là (1 – i).
• Bước 3: Giải phương trình và tìm ra giá trị của z.

Với phép chia số phức, chúng ta có kết quả cuối cùng là z = 3 – i. Qua ví dụ này, chúng ta thấy cách áp dụng phép chia số phức một cách hiệu quả và chính xác, giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến số phức một cách dễ dàng và nhanh chóng.

Dạng Lượng Giác Của Số Phức

Trong mặt phẳng phức, số phức z (với z khác không) được biểu diễn bằng vector OM với M(a;b).

Góc lượng giác giữa Ox và OM là varphi + 2kpi, trong đó k thuộc Z.

Số đo của góc lượng giác đó được gọi là một argument của z.

Nếu varphi là một argument và r > 0 là mô đun của số phức z = a + bi khác 0 trong dạng lượng giác, thì z sẽ có dạng:

z = r(acosvarphi + isinvarphi)

Với r = sqrt{a^2 + b^2} và varphi được xác định bởi cosvarphi = a/r và sinvarphi = b/r

Ghi chú:

• |z| = 1 tương đương với z = cosvarphi + isinvarphi, với varphi thuộc R
• z = 0 thì |z| = r = 0, nhưng argument của z không xác định và coi như tùy ý.

Nhân chia số phức trong dạng lượng giác:

Cho z = r(cosvarphi + isinvarphi) và z’ = r'(cosvarphi’ + isinvarphi’) (với r > 0, r’ > 0)

z.z’ = r.r'(cos(varphi + varphi’) + isin(varphi + varphi’))

frac{z}{z’} = frac{r}{r’}[cos(varphi – varphi’) + isin(varphi – varphi’)] khi r > 0

Số phức là gì? Ứng dụng và kiến thức cơ bản

Tìm hiểu về số phức là gì?
Định nghĩa số phức là gì?
Số phức là biểu thức dạng a + bi với a, b là số thực và (i^{2}= -1).
Đối với số phức z = a + bi, a là phần thực, b là phần ảo của z, i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là C.
Nhận xét về số phức:
Mỗi số thực a có thể coi là số phức với phần ảo b = 0.
Số phức z = a + bi với a = 0 gọi là số thuần ảo hoặc số ảo.
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau
Hai số phức bằng nhau khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau.
Số phức z = a + bi và z’ = c + di bằng nhau khi a = c và b = d.
Ví dụ: tìm x, y biết (2x + 1) + 3yi = (x + 2) + (y + 2)i.
Lời giải: Do hai số phức bằng nhau, ta suy ra x = 1, y = 1.

Mô đun của số phức
Mô đun của số phức là gì?
Giả sử M(a;b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng tọa độ.
Độ dài của (vec{OM}) chính là mô đun của số phức z, kí hiệu là |z|.
Ta có: |z|=(|vec{OM}|) = |a+bi|=(sqrt{a^{2}+b^{2}}).

Số phức liên hợp là gì?
Cho số phức z = a + bi, a – bi là số phức liên hợp của z và được kí hiệu là (bar{z}=a-bi).
Ví dụ: z = 1 + 2i thì (bar{z}=1 – 2i).

Biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b).
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a,b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức.
Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.

Các phép toán với số phức
Cộng trừ số phức
Số đối của số phức z = a + bi là -z = -a – bi.
Phép cộng và trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ đa thức.
Cho z = a + bi và z’ = c + di.
Tổng quát: z + z’ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Phép nhân số phức
Phép nhân số phức giữ tính chất như phép nhân số thực.
Tổng quát: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.

Phép chia số phức
Số nghịch đảo của số phức (z = a + bi neq 0) là (z^{-1} = frac{1}{z} = frac{bar{z}}{left | z right |^{2}}).
Hay (frac{1}{a + bi} = frac{a – bi}{a^{2} + b^{2}}).

Dạng lượng giác của số phức
Trong mặt phẳng phức cho số phức z với (zneq 0) được biểu diễn bởi vector (vec{OM}) với M(a;b).
Góc lượng giác ((vec{Ox},vec{OM}) = varphi + 2kpi , kepsilon mathbb{Z}).
Số đo của mỗi góc lượng giác được gọi là một acgumen của z.
Gọi (varphi) là một acgumen và r > 0 là mô đun của số phức z = a + bi khác 0 dạng lượng giác của z là:
(z=r(acosvarphi +isinvarphi )).

Ứng dụng của số phức là gì?
Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình.
Xét hệ phương trình (left{begin{matrix} f(x;y) = g(x;y) (1) & h(x;y) = k(x;y) (2) & end{matrix}right.).
Đặt z = x + yi, biểu diễn (*) thông qua các đại lượng z, mô đun z…
Ví dụ: Giải hệ phương trình: (left{begin{matrix} x + frac{3x – y}{x^{2}+y^{2}} = 3 (1) & y = frac{x + 3y}{x^{2} + y^{2}} (2)& end{matrix}right.).

Để biết thêm chi tiết, hãy thăm website để đọc bài viết đầy đủ.

Nguồn: https://laginhi.com
Danh mục: News