Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

Hệ thức Viet và ứng dụng là một phần không thể thiếu trong giáo trình toán học lớp 9 và chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh lớp 10. Điều quan trọng là hiểu rõ Hệ thức Viet là gì và lợi ích của việc áp dụng nó. Bạn muốn biết cách giải Hệ thức Viet hiệu quả như thế nào không? Tất cả sẽ được hé lộ trong bài viết này tại Laginhi.com.

Khám phá Hệ thức Viet

Hệ thức Viet là một khám phá toán học quan trọng do nhà toán học François Viète khám phá, nó giải thích mối liên kết giữa các nghiệm và hệ số của đa thức. Trong lĩnh vực toán học cấp trung học, Hệ thức Viet thường được sử dụng nhiều, đặc biệt là khi giải phương trình bậc hai. Hệ thức này được biểu diễn như sau:

Bạn đang xem: Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

Giả sử chúng ta có phương trình bậc hai: 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 với hai nghiệm là 𝑥1 và 𝑥2. Khi đó:

• Tổng của hai nghiệm: 𝑥1+𝑥2=−𝑏/𝑎
• Tích của hai nghiệm: 𝑥1.𝑥2=𝑐/𝑎

Cách giải hệ thức Viet

Trong việc giải các bài toán ứng dụng hệ thức Viet, bạn cần chuyển đổi các thành phần của bài toán thành dạng {𝑆=𝑥1+𝑥2𝑃=𝑥1.𝑥2 để áp dụng hệ thức Viet. Dưới đây là một số phương pháp chuyển đổi cơ bản:

• 𝑥21+𝑥22=𝑆2−2𝑃
• (𝑥1−𝑥2)2=𝑆2−4𝑃
• 𝑥21−𝑥22=𝑆.𝑆2−4𝑃‾‾‾‾‾‾‾√
• 𝑥31+𝑥32=𝑆(𝑆2−3𝑃)
• 1𝑥1+1𝑥2=𝑆𝑃

Nhẩm Nghiệm Của Phương Trình

Trong giáo dục hiện đại, việc nhẩm nghiệm phương trình đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng toán học vững chắc cho học sinh. Việc áp dụng lí thuyết vào bài tập không chỉ giúp củng cố kiến thức mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề hiệu quả. Hình ảnh minh họa dưới đây thể hiện sự quan trọng của việc nhẩm nghiệm phương trình trong quá trình học tập.

Hướng dẫn lập phương trình bậc hai

Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách lập phương trình bậc hai, chúng ta sẽ trình bày các bước cơ bản dưới đây. Đầu tiên, xác định các hệ số trong phương trình bậc hai là bước quan trọng nhất. Bạn cần xác định các giá trị của a, b và c, sau đó áp dụng vào công thức sau: ax^2 + bx + c = 0.

Tiếp theo, dựa vào các giá trị đã xác định, bạn có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tính toán và tìm ra giá trị chính xác của x. Quy trình này giúp bạn giải quyết các bài tập và vấn đề liên quan đến phương trình bậc hai một cách hiệu quả.

Để minh họa hơn về cách lập phương trình bậc hai, hãy xem các hình ảnh dưới đây:

Lập phương trình bậc hai

Lập phương trình bậc hai

Qua việc áp dụng các bước lập phương trình bậc hai cơ bản và sử dụng công thức nghiệm, bạn sẽ có thêm kiến thức và kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan một cách tự tin và chính xác.

Tìm hiểu cách liên kết giữa hai giá trị của một phương trình

Hãy khám phá cách mà hai giá trị của một phương trình có thể tương tác với nhau và tìm ra sự kết nối giữa chúng thông qua các phương pháp và bài tập thực hành liên quan. Việc hiểu rõ hơn về mối quan hệ này sẽ giúp bạn áp dụng lý thuyết vào thực tiễn một cách hiệu quả.

Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Đề bài: Hãy tìm hai số sao cho tổng của chúng là 𝑆 và tích là 𝑃

Theo định lý Viet, hai số này sẽ là nghiệm của phương trình bậc 2 :

𝑥2−𝑆𝑥+𝑃

Điều kiện để hai số tồn tại là 𝑆2−4𝑃≥0

Ví dụ:

Hãy tìm hai số biết rằng tổng của chúng là 27 và tích bằng 180

Cách giải:

Theo định lý Viet, ta cần tìm hai nghiệm của phương trình

𝑥2−27𝑥+180=0

⇔(𝑥−15)(𝑥−12)=0

⇔ 𝑥=15 hoặc 𝑥=12

Do đó, hai số cần tìm là 15 và 12

Tính giá trị của các biểu thức nghiệm

Khi sử dụng các phép biến đổi được đề cập để đưa biểu thức về dạng 𝑆,𝑃, bạn có thể tính toán giá trị của biểu thức đó.

Ví dụ 3:

Giả sử có phương trình 𝑥2−(𝑚+2)𝑥+(𝑚+3)2 với hai nghiệm phân biệt là 𝑥1 và 𝑥2.

Để chứng minh rằng với mọi giá trị của 𝑚 thỏa mãn phương trình đã cho cũng có nghiệm, ta cần kiểm tra giá trị của biểu thức

𝐴=𝑥1𝑥2+1+𝑥2𝑥1+1 luôn duy trì không thay đổi.

Cách giải:

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có :

Xem thêm : Hidrocacbon là gì? Tổng hợp kiến thức về hidrocacbon

{𝑆=𝑥1+𝑥2=𝑚+2𝑃=𝑥1.𝑥2=(𝑚+3)2

Một cách khác để xác định 𝐴 là:

• 𝐴=𝑥21+𝑥22+𝑥1+𝑥2𝑥1.𝑥2+𝑥1+𝑥2+1=𝑆2+𝑆−2𝑃𝑆+𝑃+1
• Thay vào biểu thức trên ta được:

𝐴=(𝑚+2)2+𝑚+2−2(𝑚+3)2(𝑚+3)2+𝑚+2+1

=−𝑚2+7𝑚+12𝑚2+7𝑚+12=−1

Do đó, 𝐴=−1

Tìm giá trị tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

Bài toán: Cho phương trình bậc hai : 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 với 𝑎,𝑏,𝑐 là các hệ số chưa tham số 𝑚. Tìm 𝑚 để phương trình đã cho có hai nghiệm 𝑥1;𝑥2 thỏa mãn hệ thức 𝐾

Các bước giải:

• Bước 1: Tìm điều kiện của 𝑚 để phương trình có hai nghiệm
• Bước 2: Biến đổi 𝐾 về dạng 𝑆,𝑃 với {𝑆=𝑥1+𝑥2𝑃=𝑥1.𝑥2
• Bước 3: Áp dụng hệ thức Viet để biến đổi 𝐾 về phương trình ẩn 𝑚 rồi giải ra tìm 𝑚

Ví dụ:

Cho phương trình : 𝑥2-(2𝑚+1)𝑥+𝑚2+2=0. Tìm 𝑚 để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 𝑥1;𝑥2 thỏa mãn

3𝑥1𝑥2−5(𝑥1+𝑥2)+7=0

Cách giải:

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

Δ=(2𝑚+1)2−4(𝑚2+2)>0

⇔4𝑚−7>0⇔𝑚>7/4 (1)

Áp dụng định lý Vi-et ta có

{𝑥1+𝑥2=2𝑚+1𝑥1.𝑥2=𝑚2+2

Thay vào ta được :

3𝑥1𝑥2−5(𝑥1+𝑥2)+7=0⇔3(𝑚2+2)−5(2𝑚+1)+7=0

⇔3𝑚2−10𝑚+8=0

⇔(3𝑚−4)(𝑚−2)=0⇔[𝑚=2,𝑚=4/3

Kết hợp với (1) ta được 𝑚=2

Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Để xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 với hai nghiệm phân biệt 𝑥1 và 𝑥2, theo định lý Viet ta có:

{𝑆=𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎𝑃=𝑥1𝑥2=𝑐𝑎

Khi đó:

• 𝑥1 và 𝑥2 cùng dương ⇔{𝑆=−𝑏𝑎>0𝑃=𝑐𝑎>0
• 𝑥1 và 𝑥2 cùng âm ⇔{𝑆=−𝑏𝑎<0𝑃=𝑐𝑎>0
• 𝑥1 và 𝑥2 trái dấu ⇔𝑃=𝑥1.𝑥2<0

Ví dụ cụ thể như sau:

Phải tìm giá trị của 𝑚 để phương trình (𝑚−1)𝑥2+2𝑥+𝑚=0 có ít nhất một nghiệm không âm.

Cách giải quyết vấn đề này như sau:

Nếu chọn 𝑚=1, phương trình trở thành:

2𝑥+1=0⇔𝑥=−12 (loại)

Nếu 𝑚≠1. Để phương trình có nghiệm, ta cần:

Xem thêm : Tuổi mụ là gì? Cách tính tuổi mụ chính xác nhất hiện nay

Δ′=1−𝑚(𝑚−1)≥0

⇔𝑚2−𝑚−1≤0

⇔𝑚∈[1−5√2;1+5√2]

Theo định lý Viet, ta có:

{𝑥1+𝑥2=−2𝑚−1𝑥1𝑥2=𝑚𝑚−1

Để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm, cần:

⎡⎣⎢⎢𝑥1𝑥2≤0{𝑥1𝑥2>0𝑥1+𝑥2≤0

⇔⎡⎣⎢⎢⎢⎢−2𝑚−1≤0{−2𝑚−1>0𝑚𝑚−1≤0

⇔⎡⎣⎢⎢𝑚−1>0{𝑚−1<0𝑚∈[0;1)

⇔[𝑚≥1𝑚∈[0;1)

⇔𝑚≥0|𝑚≠1

Kết hợp với (1), ta suy ra 𝑚∈[0;1+5√2]

Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức chứa nghiệm

Để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức chứa nghiệm, bạn cần thực hiện các bước sau đây:

1. Xác định biểu thức chứa nghiệm cần xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
2. Sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm điểm cực đại hoặc cực tiểu của biểu thức.
3. Đưa giá trị tìm được vào biểu thức ban đầu để xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cuối cùng.

Bằng cách tuân thủ các bước trên, bạn sẽ dễ dàng xác định được giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức chứa nghiệm một cách chính xác nhất.

Hãy tham khảo hình ảnh minh họa dưới đây để hiểu rõ hơn về cách thức tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức chứa nghiệm:

Tìm cực trị của biểu thức chứa nghiệm

Cách tiếp cận: Bắt đầu bằng cách chuyển biểu thức chứa nghiệm thành một biểu thức theo tham số sử dụng định lý Viet, sau đó xác định min, max của biểu thức đó theo tham số.

Ví dụ cụ thể:

Giả sử có phương trình 𝑥2+(𝑚+1)𝑥+𝑚=0. Yêu cầu tìm giá trị của 𝑚 để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt 𝑥1 và 𝑥2 sao cho biểu thức 𝐴=𝑥21+𝑥22 đạt giá trị nhỏ nhất.

Quy trình giải quyết vấn đề:

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm, ta cần:

Áp dụng định lý Viet, ta thu được:

Từ đó, suy ra :

𝐴=𝑥21+𝑥22=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2

=(𝑚+1)2−2𝑚=𝑚2+1≥1

Vậy giá trị nhỏ nhất của 𝐴 là 1 khi và chỉ khi 𝑚=0

Hệ thức Viet và ứng dụng

Trong toán học, hệ thức Viet và ứng dụng là một chủ đề quan trọng mà học sinh thường gặp trong chương trình toán 9 và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Để hiểu rõ hơn về hệ thức Viet, cùng điểm qua các câu hỏi thường gặp dưới đây:

Câu hỏi:

1. Hệ thức Viet là gì?
2. Ai là người đã khám phá ra hệ thức Viet?
3. Ích lợi của việc hiểu biết về hệ thức Viet là gì?
4. Cách áp dụng hệ thức Viet trong giải các bài toán toán học là như thế nào?
5. Hệ thức Viet được áp dụng nhiều nhất trong loại phương trình nào?
6. Những bước cơ bản để giải một bài toán sử dụng hệ thức Viet?
7. Điều kiện cần và đủ để áp dụng hệ thức Viet là gì?
8. Làm thế nào để xác định dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai sử dụng hệ thức Viet?
9. Hệ thức Viet có ứng dụng trong những lĩnh vực nào ngoài toán học?
10. Tại sao việc hiểu biết về hệ thức Viet quan trọng đối với học sinh?
11. Có tồn tại những phương trình không thể giải bằng hệ thức Viet không?
12. Làm sao để rèn luyện kỹ năng giải bài tập có sử dụng hệ thức Viet hiệu quả?

Tóm tắt

Hệ thức Viet là một phần quan trọng trong chương trình toán học đối với học sinh cấp 2. Việc hiểu biết sâu hơn về hệ thức này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn phát triển kỹ năng giải quyết bài toán. Hãy thực hành và áp dụng hệ thức Viet vào thực tế để nâng cao khả năng giải toán của mình. Đừng ngần ngại thử thách bản thân với những bài toán phức tạp hơn để trở thành một bậc thầy trong lĩnh vực toán học nói chung và hệ thức Viet nói riêng.

Nguồn: https://laginhi.com
Danh mục: News