Công thức, Điều kiện và Bài tập cực trị của hàm số bậc 4

Chào mừng bạn đến với Laginhi.com – nơi tập trung kiến thức toán học hấp dẫn và chi tiết! Bạn đã bao giờ nghe đến cực trị của hàm số bậc 4 và muốn tìm hiểu về chúng không? Trải qua chương trình toán 12 và kỳ thi THPT Quốc Gia, cực trị của hàm số bậc 4 không chỉ là một chủ đề quan trọng mà còn đầy thách thức. Vậy, những khái niệm về công thức, điều kiện và bài tập cực trị của hàm số bậc 4 là điều gì? Đừng lo lắng, chúng tôi sẽ cùng nhau khám phá tất cả trong bài viết này. Hãy cùng Laginhi.com khám phá sâu hơn về cực trị của hàm số bậc 4 và bắt đầu hành trình khám phá kiến thức toán học thú vị này.

Cực trị của hàm số là gì?

Khi bạn xem xét hàm số y=f(x) liên tục và xác định trên khoảng (a;b) và điểm x0∈(a;b), hàm số f(x) sẽ đạt cực đại tại x0 nếu có một số h>0 sao cho f(x)<f(x0) với mọi x∈(x0−h;x0+h) và x≠x0. Ngược lại, hàm số f(x) sẽ đạt cực tiểu tại x0 nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)>f(x0) với mọi x∈(x0−h;x0+h) và x≠x0.

Bạn đang xem: Công thức, Điều kiện và Bài tập cực trị của hàm số bậc 4

Khi hàm số y=f(x) liên tục, xác định và có đạo hàm cấp 2 trên khoảng (a;b), áp dụng định lý, nếu {f′(x0)=0 f”(x0)>0⇒ x0 là điểm cực tiểu của hàm số f, và nếu {f′(x0)=0 f”(x0)<0⇒ x0 là điểm cực đại của hàm số f.

Định nghĩa cực trị của hàm bậc 4

Trong toán học, hàm số bậc 4 được biểu diễn bởi y=f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e với a≠0. Đạo hàm của hàm số này là y′=4ax3+3bx2+2cx+d.

Hàm số y=f(x) có thể có một hoặc ba cực trị. Điểm cực trị được xác định là điểm mà đạo hàm y′ thay đổi dấu khi vượt qua điểm đó. Điều này có thể là điểm cực tiểu hoặc cực đại của hàm số.

Số điểm cực trị của hàm bậc 4

Xét đạo hàm y′=4ax3+3bx2+3cx+d

Nếu y′=0 có đúng 1 nghiệm thì hàm số y=f(x) có đúng 1 cực trị (có thể là cực đại hoặc cực tiểu).

Nếu y′=0 có 2 nghiệm (gồm 1 nghiệm đơn , 1 nghiệm kép) thì hàm số y=f(x) có đúng 1 cực trị (có thể là cực đại hoặc cực tiểu).

Nếu y′=0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số y=f(x) có 3 cực trị (gồm cả cực đại và cực tiểu).

Ví dụ:

Chứng minh rằng hàm số f(x)=x4+mx3+mx2+mx+1 không thể đồng thời có cả cực đại và cực tiểu với mọi m∈R

Cách giải:

Để chứng minh hàm số đã cho không có đồng thời cực đại lẫn cực tiểu thì ta chứng minh hàm số ấy chỉ có duy nhất 1 cực trị với mọi m∈R

Xét đạo hàm f′(x)=4x^3+m(3x^2+2x+1)

Xét phương trình f′(x)=0⇔4x^3+m(3x^2+2x+1)=0

⇔4x^3/(3x^2+2x+1)+m=0

Xét hàm số g(x)=4x^3/(3x^2+2x+1)+m

Ta có:

Xem thêm : Da tổng hợp là gì? Cách vệ sinh, phân biệt da tổng hợp và da thật

g′(x)=12×2/(3×2+2x+1)−4×3/(6x+2)(3×2+2x+1)^2

=4×2/(3×2+4x+3)(3×2+2x+1)^2≥0∀x∈R

⇒ hàm số g(x) đồng biến

⇒ phương trình g(x)=0 có đúng 1 nghiệm duy nhất

Như vậy phương trình f′(x)=0 có đúng 1 nghiệm duy nhất

⇒ hàm số f(x) có duy nhất một điểm cực trị

Định Nghĩa Hàm Số Trùng Phương Là Gì?

Hàm số trùng phương là loại hàm số bậc 4 có dạng:

y = f(x) = ax^4 + bx^2 + c

Điều này nghĩa là đó là một hàm số bậc 2 với biến là x^2.

Điều Kiện Cực Trị của Hàm Bậc 4 Trùng Phương

Một Ví Dụ Cụ Thể:

Hãy giả sử có một hàm số f(x)=3mx4+(m−2)x2+m−1. Bạn cần tìm giá trị của m để hàm số này có ba điểm cực trị.

Để hàm số f(x) có đúng 3 điểm cực trị, ta cần thỏa mãn điều kiện sau:

3m(m−2)<0, điều này tương đương với m thuộc khoảng (0;2).

Khám Phá Thêm:

• Thước đo đơn vị nào sẽ tương đương với mét, cm, dm, mm, dam, hm, km, tấc, phân, li?
• Phương pháp chuyển đổi inch sang mét một cách chính xác và nhanh chóng bằng công cụ hỗ trợ
• Bí quyết đổi đơn vị từ dm sang cm, m, km, inch,… một cách chính xác nhất

Công thức tối ưu cho hàm bậc 4 trùng phương

Khi xem xét hàm số trùng phương f(x)=ax4+bx2+c với ba cực trị tạo thành tam giác cân ABC với đỉnh A

Tọa độ của các đỉnh:

A(0;c)

B(−sqrt(−b2a);−Δ4a)

C(sqrt(−b2a);−xΔ4a)

Xem thêm : Công nghệ Blockchain là gì? Cách công nghệ chuỗi số hoạt động và ứng dụng

Để giải quyết một cách nhanh chóng các bài toán liên quan đến hàm bậc 4 trùng phương trong các bài toán trắc nghiệm, dưới đây là các công thức áp dụng:

• cosBAC =b^3+8ab^3−8a
• Diện tích ΔABC=b^24|a|.sqrt(−b2a)

Ví dụ:

Cho hàm số f(x)=x4−2mx2+3. Hãy tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số f(x) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân với cạnh bên bằng hai lần độ dài cạnh đáy

Cách giải:

• Để hàm số có ba điểm cực trị, ta có −2m<0⇔m>0
• Theo định lý Cosin, ta có:
• BC2=AB2+AC2−2AB.AC.cosBAC
• ⇔cosBAC=AB2+AC2−BC2/2AB.AC
• Vì ΔABC cân tại A⇒AB=AC
• Ứng dụng vào bài toán ta có AB=2BC
• Thế vào, ta được
• cosBAC=78
• Áp dụng công thức cosBACˆ, ta có:
• 78=cosBAC=b^3+8ab^3+8a=−8m^3+8−8m^3−8
• ⇔m3=15⇔m=sqrt(15)/3 ( thỏa mãn )
• Vậy m=15−−√3

Cực trị của hàm số bậc 4 là một đề tài quan trọng trong toán học cấp độ 12 và kỳ thi THPT Quốc Gia. Nhưng cực trị của hàm số bậc 4 là gì? Lý thuyết và bài tập cực trị của hàm số bậc 4 như thế nào? Công thức cực trị của hàm bậc 4 trùng phương là gì? DINHNGHIA.COM.VN sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.

Câu hỏi thường gặp

1. Cực trị của hàm số là gì?

   • Cực đại và cực tiểu là gì?

2. Cực trị của hàm số bậc 4?

   • Định nghĩa cực trị của hàm bậc 4 là gì?
   • Hàm số bậc 4 có bao nhiêu điểm cực trị?

3. Cách chứng minh hàm số không thể có cực đại và cực tiểu cùng lúc?

   • Ví dụ minh họa và cách giải quyết.

4. Hàm số trùng phương là gì?

   • Điều kiện cực trị của hàm bậc 4 trùng phương là gì?

5. Cách tìm điểm cực trị cho hàm số bậc 4 trùng phương?

   • Công thức cực trị của hàm bậc 4 trùng phương là gì?

6. Tìm giá trị m để hàm số có ba điểm cực trị?

7. Cách giải bài tập về cực trị của hàm bậc 4 trùng phương?

8. Điều kiện để hàm số có tam giác cân từ các điểm cực trị?

9. Tìm giá trị m để hàm số có tam giác cân tạo thành đường tròn ngoại tiếp?

10. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một hình lục giác?

11. Bài tập thực hành về cực trị của hàm bậc 4?

12. Tổng hợp kiến thức và bài tập về cực trị của hàm bậc 4.

Tóm tắt

Trên đây là những kiến thức cơ bản về cực trị của hàm số bậc 4, từ cách định nghĩa, số điểm cực trị, đến các ví dụ và bài tập minh họa. Để hiểu sâu hơn về chủ đề này và áp dụng vào thực hành, hãy truy cập website của chúng tôi. Hãy học và rèn luyện kỹ năng toán của bạn mỗi ngày để trở thành bậc thầy trong lĩnh vực này!

Nguồn: https://laginhi.com
Danh mục: News