Khi bắt đầu tiếp cận với môn toán, việc giải hệ phương trình đối xứng thường là một thách thức đối với nhiều học sinh. Đặc biệt là các bạn học sinh chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh lớp 10 hay kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Vậy, bạn đã hiểu rõ về hệ phương trình đối xứng là gì chưa? Để giúp bạn giải đáp thắc mắc và áp dụng kiến thức vào thực tế một cách chính xác, trang web Là Gì Nhỉ sẽ cùng khám phá các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 và loại 2.
Qua bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách nhận biết, lý thuyết cơ bản, và thực hành bằng các bài tập hệ phương trình đối xứng một cách tự tin. Hãy cùng bắt đầu hành trình khám phá toán học thú vị này cùng Là Gì Nhỉ!
Hệ Phương Trình Đối Xứng: Hiểu Rõ Vấn Đề
Khi nói về hệ phương trình đối xứng, chúng ta đề cập đến hệ phương trình mà khi thay đổi vai trò giữa x và y, thì hệ phương trình vẫn giữ nguyên. Chúng ta có hai loại hệ phương trình đối xứng cơ bản: loại 1 và loại 2.
Loại 1: Đặc Điểm và Ứng Dụng
Hệ phương trình đối xứng loại 1 thường được sử dụng rộng rãi trong các bài toán toán học và vật lý. Đặc điểm nổi bật của loại này là khi ta hoán đổi giá trị của x và y, hệ phương trình vẫn không thay đổi, điều này giúp giảm bớt phức tạp trong việc giải quyết vấn đề.
Loại 2: Ứng Dụng Thực Tiễn
Loại hệ phương trình đối xứng này thường xuất hiện trong các bài toán thực tế, ví dụ như trong lĩnh vực kỹ thuật, công nghệ. Việc hiểu và áp dụng loại 2 sẽ giúp bạn tối ưu quá trình giải quyết vấn đề và tăng hiệu suất công việc.
Tính Ứng Dụng và Khả Năng Tính Toán
Hiểu rõ về hệ phương trình đối xứng không chỉ giúp bạn nắm vững kiến thức mà còn mở rộng cái nhìn về cách tiếp cận và giải quyết các vấn đề phức tạp.
Áp Dụng Thực Tế và Tương Lai
Với sự ứng dụng linh hoạt trong nhiều lĩnh vực, hệ phương trình đối xứng đóng vai trò quan trọng trong việc tối ưu hóa quy trình và giải quyết vấn đề hiệu quả. Hãy đào sâu và khám phá thêm về hệ phương trình đối xứng để áp dụng thành công trong công việc và cuộc sống hàng ngày.
Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 1 là gì?
Là hệ phương trình mà khi bạn thay đổi vai trò của x và y, từng phương trình không thay đổi. Nói cách khác, hệ phương trình đối xứng loại 1 (HPTDXL1) là hệ phương trình mà hai ẩn x và y đối xứng trong mỗi phương trình.
Ưu điểm lớn của hệ phương trình đối xứng loại 1 là khả năng xác định giá trị của các ẩn một cách dễ dàng, từ đó giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả.
Trong hệ phương trình này, chúng ta thường gặp các phương trình đồng dạng như:
| {f(x; y) = 0 | {f(x; y) = f(y; x) |
| {g(x; y) = 0 | {g(x; y) = g(y; x) |
Nhờ tính đối xứng của hệ phương trình đối xứng loại 1, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp giải đơn giản và nhanh chóng để tìm ra các nghiệm phù hợp.
Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn
Khi giải quyết các hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn, chúng ta cần áp dụng các phương pháp cụ thể để tìm ra nghiệm chính xác. Việc này đòi hỏi sự chính xác trong từng bước tính toán để đảm bảo kết quả cuối cùng là đáng tin cậy. Đối với các loại hệ phương trình này, việc xác định nghiệm chính xác sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các mối quan hệ và tương tác giữa các biến số trong hệ thống. Điều này không chỉ giúp chúng ta giải quyết vấn đề hiện tại mà còn mở ra cơ hội áp dụng kiến thức này vào các bài toán thực tiễn một cách hiệu quả.
Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 2 là gì?
Là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò x;y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại hay nói cách khác, hệ phương trình đối xứng loại 2 (HPTDXL2) là hệ phương trình gồm 2 phương trình đối xứng nhau
{f(x;y)=0
{f(y;x)=0
Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Hai Ẩn
Chúng ta hãy cùng tìm hiểu về hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn, một chủ đề quan trọng trong toán học và thống kê. Hệ phương trình này thường được sử dụng để giải quyết các bài toán thực tế phức tạp, đặc biệt trong lĩnh vực khoa học dữ liệu và kinh tế học.
Khi đối mặt với hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn, có một số phương pháp giải quyết phổ biến mà chúng ta có thể áp dụng. Đầu tiên, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đồng dư để tìm ra nghiệm của hệ phương trình. Tiếp theo, phương pháp đường chéo cũng là một cách tiếp cận hiệu quả để giải quyết hệ phương trình này.
Hãy cùng nhau khám phá sâu hơn về hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn và ứng dụng chúng vào thực tế để hiểu rõ hơn về nguyên lý hoạt động của chúng. Điều này sẽ giúp chúng ta áp dụng kiến thức này vào các vấn đề phức tạp mà chúng ta gặp phải hàng ngày.
Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 1
Để nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 1, bạn cần xét từng phương trình, thử đổi x thành y và y thành x để xem xem phương trình mới thu được có giống với phương trình ban đầu hay không.
Ví dụ:
Hệ phương trình {x^2+2x+2y+y^2−1=0
{x^3+y^3+xy=1 là một hệ phương trình đối xứng loại 1.
Hệ phương trình {x^3−y^3+xy=1
{x^2+2xy+x+y+y^2=3 không phải là một hệ phương trình đối xứng loại 1.
Cách nhận diện hệ phương trình đối xứng loại 2
Để nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 1, bạn cần xem xét phương trình đầu tiên, thử thay đổi x thành y; y thành x và kiểm tra xem phương trình mới thu được có giống với phương trình thứ hai không? Hãy làm tương tự với phương trình thứ hai.
Ví dụ:
Hệ {x^3−x^2y=x
{y^3−xy^2=y là hệ phương trình đối xứng loại 2
Hệ {x^2−xy=y
{y^2+xy=x không phải là hệ phương trình đối xứng
Phương Pháp Đặt Ẩn Tổng Tích
Phương pháp này được sử dụng để giải các hệ phương trình đối xứng loại 1.
- Bước 1: Đặt S=x+y; P=x.y. Chuyển đổi từng phương trình thành phương trình mới theo 2 ẩn S; P.
- Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm ra S; P sao cho S^2 ≥ 4P.
- Bước 3: Giải phương trình (t^2-St+P). Khi đó, x;y là nghiệm của phương trình theo định lý Viet.
Để chuyển đổi hệ phương trình thành dạng S; P, cần ghi nhớ một số đẳng thức quan trọng:
x^2+y^2=(x+y)^2−2xy=S^2−2P
|x−y|=sqrt((x+y)^2−4xy)=sqrt(S^2−4P)
x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2−xy)=S(S^2−3P)
Chú ý: Nếu (x;y)=(a;b) là nghiệm của hệ phương trình, thì (x;y)=(b;a) cũng là nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ:
Giải Hệ Phương Trình:
{x+xy+y=2
{x^2+xy+y^2=4
Cách giải:
Đặt S=x+y; P=xy. Điều kiện: S^2 ≥ 4P
Thay vào hệ phương trình, ta có:
{S+P=2
{S^2−P=4
Thay −P=S−2 vào phương trình dưới, ta được:
S^2+S−6=0⇔(S−2)(S+3)=0
⇔[S=2; P=0
[S=−3; P=5
Kiểm tra điều kiện S^2 ≥ 4P, ta có {S=2P=0
Vậy x;y là nghiệm của phương trình t^2−2t=0
⇔[t=0
[t=2
Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (x;y)=(0;2);(2;0)
Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
Phương pháp này được áp dụng để giải các bài toán liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 1 phức tạp. Những hệ phương trình này, dù ban đầu không có vẻ đối xứng, nhưng thông qua việc đặt ẩn phụ một cách khôn ngoan, bài toán sẽ trở thành hệ phương trình đối xứng loại 1, giúp chúng ta giải một cách hiệu quả.
Ví Dụ:
Giải hệ phương trình: {x(x+2)(2x+y)−9=0}
{x^2+4x+y=6
Cách Giải:
Chúng ta đặt x^2+2x=a và 2x+y=b. Thay thế vào hệ phương trình đã cho ta được:
{ab=9}
{a+b=6
Vậy a và b là nghiệm của phương trình:
t^2−6t+9=0 ⇔ (t−3)^2=0 ⇔ t=3
Do đó, a=b=3
Thay vào, ta có:
{x^2+2x=3}
{2x+y=3⇔{(x+3)(x−1)=0}
{2x+y=3
Suy ra:
- x=−3
- y=9
- x=1
- y=1
Vậy, hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm:
Xem thêm : Levvvel com coin master free spins – Nhận Spin miễn phí 2024
(x;y)=(−3;9);(1;1)
Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn
Với những hệ phương trình này, cách giải vẫn bao gồm các bước như trên nhưng chúng ta cần thêm bước tìm ĐKXĐ của hệ phương trình.
Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
{x+y−sqrt(xy)=3
{sqrt(x+1)+sqrt(y+1)=4
Cách giải:
ĐKXĐ:
- x≥−1
- y≥−1
- xy≥0(∗)
Đặt S=x+y;P=xy với
- S^2≥4P
- P≥0
- S≥−2(∗∗)
Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình đã cho tương đương với :
{x+y−sqrt(xy)=3
{sqrt(x+y+2+x+y+xy+1)=16
⇔{√S−P=3
{√S+2+2S+P+1=16
⇔{P=S2−6S+9S−14=−2√S+P+1với 3≤S≤14
Thay P=S2−6S+9 từ PT (1) vào PT (2) ta có :
S−14=−2√S2−5S+10
⇔S2−28S+196=4(S2−5S+10)
⇔3S2+8S−156=0⇔(S−6)(3S+26)=0
⇔{S=6S=−263
Kết hợp ĐKXĐ ta được S=6⇒P=9
Vậy x;y là nghiệm của phương trình :
t2−6t+9=0⇔t=3
Vậy x=y=3 ( thỏa mãn điều kiện).
Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1
Dưới đây là một số bài tập giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải phương trình. Hãy cùng thử sức nhé!
Bài 1: Giải hệ phương trình:
{x^2+xy+y2=7
x^2+y^2+x+y=8
Đáp án: (x;y)=(1;2);(2;1);(1;−3);(−3;1)
Bài 2: Giải hệ phương trình:
{x+y+1x+1y=5×2+y2+1×2+1y2=9
Đáp án: (x;y)=(1;3+5√2);(3+5√2;1);(1;3−5√2);(3−5√2;1)
Bài 3: Tìm m để hệ có đúng 2 nghiệm :
{(x+y)^2=4x^2+y^2=2m+2
Đáp án: m=0
Phương pháp trừ hai vế
Phương pháp này được sử dụng để giải phương trình đối xứng loại 2.
Bước 1: Trừ hai vế tương ứng của hai phương trình, chuyển đổi phương trình thu được thành dạng phương trình tích: (x−y).f(x;y)=0
Bước 2: Giải phương trình f(x;y)=0 để tìm mối quan hệ x;y. Sau đó thay vào một phương trình trong hệ ban đầu để giải ra x;y (lưu ý thay cả trường hợp x−y=0 )
Bước 3: Rút ra kết luận về nghiệm của phương trình.
Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
{x^3=3x+8y
{y^3=3y+8x
Cách giải:
Để giải hệ phương trình đối xứng loại 2 bậc 3 này, ta cần nhớ hằng đẳng thức : A3−B3=(A−B)(A2+AB+B2)
Trừ hai vế của hai phương trình ta được :
(x3−y3)+5(x−y)=0⇔(x−y)(x2+xy+y2+5)=0(1)
Ta có : x2+xy+y2+5=(x+y2)2+3y24+5≥5>0
Vậy từ (1)⇒x=y
Thay vào ta được:
x3=11x⇔[x=0x=±11−−√
Vậy phương trình đã cho có 3 cặp nghiệm thỏa mãn : (x;y)=(0;0);(sqrt(11);sqrt(11));(sqrt(-11);sqrt(-11))
Phương Pháp Hàm Số
Khi nói về hệ phương trình ĐX bậc hai, đó là một dạng hệ phương trình đối xứng, bao gồm 2 ẩn như sau:
{f(x)=g(y)f(y)=g(x)
Nếu chúng ta có thể chứng minh rằng hàm số f(t) và g(t) đồng biến, khi giả sử x≤y, chúng ta có:
f(x)≤f(y)=g(x)≤g(y)
Đồng thời, vì f(x)=g(y), đẳng thức xảy ra. Vì vậy, f(x)=g(x). Việc giải phương trình sẽ cho ta [/latex] x [/latex], từ đó đi tìm nghiệm của hệ phương trình.
Lưu Ý: Trong trường hợp hàm f(t) và g(t) nghịch biến, ta thực hiện tương tự.
Đây cũng chính là phương pháp giải các bài toán hệ phương trình đối xứng, đa ẩn:
- f(x)=g(y)
- f(y)=g(z)
- f(z)=g(x)
Ví dụ cụ thể:
Giải hệ phương trình:
{x3+x=3y
y3+y=3x
Cách giải:
Chúng ta xem xét hàm số f(t)=t3+t và hàm số g(t)=3t
Dễ dàng nhận thấy cả f(t) và g(t) đều đồng biến. Vì vậy, giả sử x≤y, từ hệ phương trình đã cho, ta có:
f(x)≤f(y)=g(x)≤g(y)
Với f(x)=g(y) (theo hệ phương trình), đẳng thức xảy ra, nên f(x)=g(x)
Vì vậy: x3+x=3x⇔x(x2−2)=0
⇔[x=0x=±sqrt(2)
Do đó, hệ phương trình có 3 cặp nghiệm là (x;y)=(0;0);(sqrt(2);sqrt(2));(sqrt(−2);sqrt(−2))
Giải hệ phương trình đối xứng loại 2 chứa căn
Xem thêm : Chất chống oxy hóa là gì? Vai trò và Lợi ích đối với cơ thể?
Loại hệ phương trình đối xứng này gặp khó khăn do chứa căn, không thể trừ trực tiếp như thông thường. Vì vậy, cần sử dụng phương pháp nhân liên hợp để tạo ra nhân tử (x−y). Các biến đổi quan trọng:
sqrt(a)−sqrt(b)=a−bsqrt(a)+sqrt(b)
a−−√3−b√3=a−b*a*2√3+a*b√3+b2√3
Ngoài ra, có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, biểu thức chứa căn để tạo ra hệ mới không chứa căn. Nhớ kiểm tra Điều kiện Xác định trước khi giải.
Ví dụ về giải hệ phương trình:
Giải hệ phương trình:
{sqrt(x+5)+sqrt(y−2)=7
sqrt(y+5)+sqrt(x−2)=7
Cách giải:
- Điều kiện Xác định: x; y ≥ 2
- Trừ hai vế của hai phương trình ta được: (sqrt(x+5)−sqrt(y+5)−(sqrt(x−2)−sqrt(y−2))=0
- ⇔(x−y)(1x+5√+y+5√−1x−2√+y−2√)=0
Từ các bước trên, suy ra x=y. Thay vào ta được:
√x+5+√x−2=7⇔√2x+3+2×2+3x−10=49
⇔√23−x=x2+3x−10⇒x2−46x+529=x2+3x−10
⇒49x=539⇒x=11 ( thỏa mãn)
Vậy x=y=11
Bài tập về hệ phương trình đối xứng loại 2
Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn qua các bài tập về hệ phương trình đối xứng loại 2 để giúp bạn hiểu rõ và áp dụng kiến thức một cách hiệu quả.
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau:
Cho hệ phương trình đã cho có nghiệm x = y = 3.
Dưới đây là một số bài tập giúp bạn rèn luyện kỹ năng về hệ phương trình đối xứng loại 2.
Bài 1: Giải hệ phương trình:
- {√2x+3+4−y=4
- {√2y+3+4−x=4
Đáp số: (x;y)=(3;3);(119;119)
Bài 2: Giải hệ phương trình:
- {√x+y−1=1
- {√y+x−1=1
Đáp số x=y=1
Bài 3:
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
- {x2−x−y+m=0
- y2−y−x+m=0
Đáp số: m=1
Định nghĩa phương trình có hệ số đối xứng
Phương trình có hệ số đối xứng bậc n là phương trình có dạng f(x)=0 trong đó f(x) là đa thức với đầy đủ các số hạng sắp xếp từ bậc cao đến bậc thấp ( xn;xn−1;…;x;x0 ) sao cho từng cặp hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau, tức là:
f(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0
Với ai=an−i với i=0;1;2;…;n
Ví dụ : ax4+bx3+cx2+bx+a=0 là phương trình hệ số đối xứng bậc 4
ax3+bx2+bx+a=0 là phương trình hệ số đối xứng bậc 3
Tính chất của phương trình có hệ số đối xứng
Phương trình có hệ số đối xứng bậc chẵn sẽ có nghiệm x0 khác 0 và cũng chấp nhận 1×0 là nghiệm.
Trong khi đó, phương trình hệ số đối xứng bậc lẻ thường được phân tích thành dạng: (x+1).f(x), với f(x) là một phương trình hệ số đối xứng bậc chẵn.
Điều này dẫn đến việc phương trình đối xứng bậc lẻ luôn có nghiệm là x=−1.
Để giải phương trình đối xứng bậc lẻ, ta thường chuyển nó về dạng giải phương trình đối xứng bậc chẵn.
Hệ phương trình đối xứng là một dạng bài toán phổ biến trong các kỳ thi lớp 10 và kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Đầu tiên, chúng ta cần hiểu: hệ phương trình đối xứng là gì? Hệ phương trình đối xứng là loại hệ phương trình khi ta hoán đổi x và y cho nhau, thì hệ phương trình vẫn không thay đổi. Có hai loại hệ phương trình đối xứng cơ bản là loại 1 và loại 2.
Cách phân loại hệ phương trình đối xứng
Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 1:
Đây là loại hệ phương trình mà khi ta hoán đổi x và y, thì từng phương trình không thay đổi; nghĩa là ẩn x và y đối xứng trong mỗi phương trình.
Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 2:
Đây là loại hệ phương trình mà khi ta hoán đổi x và y, thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại. Nói cách khác, hệ phương trình đối xứng loại 2 gồm 2 phương trình đối xứng nhau.
Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn:
Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng
Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 1:
Để nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 1, chúng ta xét từng phương trình, thử đổi x → y và y → x, xem phương trình mới thu được có giống như phương trình ban đầu hay không.
Ví dụ:
- Hệ {x^2+2x+2y+y^2−1=0
{x^3+y^3+xy=1 là hệ phương trình đối xứng loại 1. - Hệ {x^3−y^3+xy=1
{x^2+2xy+x+y+y^2=3 không phải là hệ phương trình đối xứng loại 1.
Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 2:
Để nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 2, chúng ta xét phương trình thứ nhất, thử đổi x → y và y → x, xem phương trình mới thu được có giống như phương trình thứ hai hay không. Làm tương tự với phương trình thứ hai.
Ví dụ:
- Hệ {x^3−x^2y=x
{y^3−xy^2=y là hệ phương trình đối xứng loại 2. - Hệ {x^2−xy=y
{y^2+xy=x không là hệ phương trình đối xứng.
Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1
Phương pháp đặt ẩn tổng tích:
Đây là phương pháp chung để giải các hệ phương trình đối xứng loại 1.
- Bước 1: Đặt S=x+y và P=x*y. Biến đổi từng phương trình về dạng S;P.
- Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm ra S;P thỏa mãn S^2 ≥ 4P.
- Bước 3: Giải phương trình ( t^2-St+P ). Khi đó x;y là nghiệm của phương trình trên.
Để biến đổi hệ phương trình về dạng S;P, ta cần nhớ một số đẳng thức quan trọng:
- x^2+y^2=(x+y)^2−2xy=S^2−2P
- |x-y|=sqrt((x+y)^2−4xy)=sqrt(S^2−4P)
- x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2−xy)=S(S^2−3P)
Chú ý: Nếu (x;y)=(a;b) là nghiệm của hệ phương trình, thì (x;y)=(b;a) cũng là nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ:
- Giải hệ phương trình:
{x+xy+y=2
{x^2+xy+y^2=4
Cách giải:
Đặt S=x+y;P=xy. Điều kiện: S^2 ≥ 4P
Thay vào hệ phương trình ta được:
{S+P=2
{S^2−P=4
Thay −P=S−2 vào phương trình dưới ta được :
S^2+S−6=0⇔(S−2)(S+3)=0
⇔[S=2;P=0
[S=−3;P=5
Kiểm tra điều kiện S^2 ≥ 4P, vậy {S=2P=0
Vậy x;y là nghiệm của phương trình t^2−2t=0
⇔[t=0
[t=2
Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (x;y)=(0;2);(2;0)
Phương pháp đặt ẩn phụ:
Đây là phương pháp để giải các bài toán hệ phương trình đối xứng loại 1 khó. Những hệ này nếu nhìn qua thì ta sẽ thấy nó không phải là đối xứng. Nhưng khi chúng ta đặt ẩn phụ một cách thích hợp, bài toán sẽ trở thành hệ phương trình đối xứng loại 1. Từ đó chúng ta có thể giải một cách dễ dàng.
Ví dụ:
- Giải hệ phương trình : {x(x+2)(2x+y)−9=0
{x^2+4x+y=6
Cách giải:
Đặt x^2+2x=a;2x+y=b. Thay vào hệ đã cho ta được :
{ab=9
{a+b=6
Vậy a;b là nghiệm của phương trình :
t^2−6t+9=0⇔(t−3)^2=0⇔t=3
Vậy a=b=3
Thay vào ta được:
{x^2+2x=3
{2x+y=3⇔{(x+3)(x−1)=0
{2x+y=3
Suy ra: - x=-3
- y=9
- x=1
- y=1
Vậy phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm: (x;y)=(-3;9);(1;1)
Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn
Với những hệ phương trình này, cách giải vẫn bao gồm các bước như trên nhưng chúng ta cần thêm bước tìm Điều Kiện Xác Định của hệ phương trình.
Ví dụ:
- Giải hệ phương trình:
{x+y−sqrt(xy)=3
{sqrt(x+1)+sqrt(y+1)=4
Cách giải:
Điều Kiện Xác Định: - x≥-1
- y≥-1
- xy≥0
Đặt S=x+y;P=xy với
- S^2≥4P
- P≥0
- S≥-2
Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình đã cho tương đương với :
{x+y−sqrt(xy)=3
{sqrt(x+y+2+x+y+xy+1)=16
⇔{√S−P=3
{√S+2+2S+P+1=16
⇔{P=S^2−6S+9S−14=−2√S+P+1 với 3≤S≤14
Thay P=S^2−6S+9 từ PT (1) vào PT (2) ta có :
S−14=−2√S^2−5S+10
⇔S^2−28S+196=4(S^2−5S+10)
⇔3S^2+8S−156=0⇔(S−6)(3S+26)=0
⇔{S=6S=−263
Kết hợp Điều Kiện Xác Định ta được S=6⇒P=9
Vậy x;y là nghiệm của phương trình :
t^2−6t+9=0⇔t=3
Vậy x=y=3 (thỏa mãn điều kiện).
Bài tập về hệ phương trình đối xứng loại 1
Sau đây là một số bài tập để các bạn luyện tập phần hệ phương trình đối xứng loại 1.
-
Giải hệ phương trình:
{x^2+xy+y^2=7
x^2+y^2+x+y=8
Đáp số: (x;y)=(1;2);(2;1);(1;-3);(-3;1) -
Giải hệ phương trình:
{x+y+1x+1y=5×2+y2+1×2+1y2=9
Đáp số: (x;y)=(1;3+5√2);(3+5√2;1);(1;3−5√2);(3−5√2;1) -
Tìm m để hệ có đúng 2 nghiệm:
{(x+y)^2=4x^2+y^2=2m+2
Đáp số: m=0
Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2
Phương pháp trừ hai vế:
Đây là phương pháp chung để giải phương trình đối xứng loại 2.
- Bước 1: Trừ hai vế tương ứng của hai phương trình, biến đổi phương trình thu được về dạng phương trình tích: (x−y).f(x;y)=0
- Bước 2: Giải phương trình f(x;y)=0 để tìm mối quan hệ x;y. Sau đó thay vào một phương trình trong hệ ban đầu để giải ra x;y (chú ý thay cả trường hợp x−y=0)
- Bước 3: Kết luận nghiệm.
Ví dụ:
- Giải hệ phương trình :
{x^3=3x+8y
{y^3=3y+8x
Cách giải:
Để giải hệ phương trình đối xứng loại 2 bậc 3 này, chúng ta cần ghi nhớ hằng đẳng thức: A^3−B^3=(A−B)(A^2+AB+B^2)
Trừ hai vế của hai phương trình ta được :
(x^3−y^3)+5(x−y)=0⇔(x−y)(x^2+xy+y^2+5)=0(1)
Ta có: x^2+xy+y^2+5=(x+y/2)^2+3(y/2)^2+5 ≥ 5 > 0
Vậy từ (1)⇒x=y
Thay vào ta được:
x^3=11x⇔x=0;x=±11−−√
Vậy hệ phương trình có 3 cặp nghiệm thỏa mãn: (x;y)=(0;0);(sqrt(11);sqrt(11));(sqrt(-11);sqrt(-11))
Phương pháp hàm số:
Hệ phương trình Đối Xứng bậc hai là một dạng hệ phương trình đối xứng vòng quanh gồm 2 ẩn dạng:
- f(x)=g(y)
- f(y)=g(x)
Nếu ta chứng minh được hàm số f(t);g(t) cùng đồng biến thì giả sử x ≤ y ta có:
- f(x) ≤ f(y)=g(x) ≤ g(y)
Mà mặt khác do f(x)=g(y) nên đẳng thức xảy ra. Vậy f(x)=g(x). Giải phương trình thu được x, từ đó tìm ra nghiệm của hệ phương trình.
Chú ý: Trong trường hợp hàm f(t);g(t) cùng nghịch biến thì làm tương tự.
Ví dụ:
- Giải hệ phương trình :
{x^3+x=3y
{y^3+y=3x
Cách giải:
Xét hàm số f(t)=t^3+t và hàm số g(t)=3t
Dễ thấy cả f(t);g(t) đều đồng biến. Do đó, giả sử x ≤ y, từ hệ phương trình đã cho ta có:
f(x)≤f(y)=g(x)≤g(y)
Mà vì f(x)=g(y) (theo hệ phương trình) nên đẳng thức xảy ra, vậy f(x)=g(x)
Do đó:
- x^3+x=3x⇔x(x^2−2)=0
⇔x=0;x=±sqrt(2)
Vậy hệ phương trình có 3 cặp nghiệm: (x;y)=(0;0);(sqrt(2);sqrt(2);(sqrt(-2);sqrt(-2))
Giải hệ phương trình đối xứng loại 2 chứa căn
Đây là một dạng hệ phương trình đối xứng loại 2 khó do có căn thức. Do đó chúng ta cần phải sử dụng phương pháp nhân liên hợp để biến đổi tạo ra nhân tử (x−y). Một số biến đổi cần lưu ý:
- sqrt(a)−sqrt(b)=a−bsqrt(a)+sqrt(b)
- a−sqrt(3)−b√3=a−ba2√3+a*b√3+b2√3
Chúng ta cũng cần kiểm tra Điều Kiện Xác Định trước khi giải.
Ví dụ:
- Giải hệ phương trình:
{sqrt(x+5)+sqrt(y−2)=7
{sqrt(y+5)+sqrt(x−2)=7
Cách giải:
Điều Kiện Xác Định: x;y≥2
Trừ hai vế của hai phương trình ta được: (sqrt(x+5)−sqrt(y+50)−(sqrt(x−2)−sqrt(y−2))=0
⇔(x−y)(1x+5√+y+5√−1x−2√+y−2√)=0(1)
Ta có:
{√x+5>√x−2√y+5−>√y−2⇒√x+5+√y+5=>√x−2=+√y−2
⇒1x+5√+y+5√<1x−2√+y−2√
Nguồn: https://laginhi.com
Danh mục: News